Makó Pál mint új matematikai és logikai eszmék képviselője

A Nagyszombati Egyetem alapításának évfordulója

Magyarországon – és bizonyára Szlovákiában is – 2010-ben ünnepelték a Pázmány Péter nagyszombati katolikus (jezsuita) egyetem alapításának 375. évfordulóját. A megemlékezésekben kevés szó esett a Budára, majd Pestre áttelepült Egyetem bölcsészettudományi karának első dékánjáról, Makó Pálról. Energikus szervezőtehetsége és tanári kiválósága mellett mindenekelőtt újszerű, hasznos egyetemi tankönyvei miatt méltán érdemelte ki ezt a megtisztelő állást. – Valójában matematikai analíziskönyvével1 megelőzte korát, a Monarchián túl Közép-Európát is, és még inkább az akkori Monarchia matematikai szintjét. A halála óta eltelt több mint 300 esztendő alatt nemcsak a Bolyaiak születtek meg, hanem a 20. század újabb lendülete, főképp a fizika forradalma magyar matematikusokat is a nemzetközi élvonalba emelt: Riesz Frigyes, Neumann János, Erdős Pál, Fehér Lipót vagy Szőkefalvy Nagy Béla és a többiek bekerültek ebbe a megtisztelő sorba. Makó még nem is álmodhatta, hogy a 20. század 40-es–50-es éveiben a budapesti egyetem természettudományi karán külön analízistanszék is létesül majd, arról sem, hogy kedvenc tudományterülete már a gyakorlógimnáziumok tantervébe is bekerül.

Kultúrtörténeti meggondolások

Kerekgedei Makó Pál (1723–1793) analíziskönyve (megjelent 1768-ban, más források, pl. Révai lexikon szerint 1764-ben) kétségtelenül a nagyszombati 17–18. századi matematika (Lipcsic Mihály, Hell Miksa, Ivancsics János, Reviczky Antal) csúcsteljesítménye volt.2 Reprezentatív alakja ő a Magyarországon a 18. század második felében elinduló és felvirágzó természettudományi fellendülésnek, amely Born Ignácot, Segner Andrást, Hell Miksát tudta adni a világnak. A mai magyar és szlovák tudomány- és filozófiatörténészek büszkén lapozhatják a történelemnek ezeket az oldalait, mert hisz az akkori Észak-Magyarország tudta ebben a legnagyobb eredményeket felmutatni. Makó rendkívüli intelligenciájával nyúlt az új, magasabb matematikához, mindazt tudva és elgondolva, amit jeles kortársai Nagyszombatban a függvényelméletben kidolgoztak, és még inkább dicséri, hogy követni tudta az akkori Európa legjobbjait, Eulert és a két Bernoulli fivért, akik a nagy leibnizi–newtoni felfedezés első rendszerezői, továbbgondolói és fizikai alkalmazói voltak. Mindazt megértve, amit az Osztrák–Magyar Monarchia matematikusai ebben az időben meg sem értettek (pl. a legkisebb és a legnagyobb szám és érték, a „tart a 0-hoz” stb. fogalmakat), nemhogy tudományos kötetben tudták volna leírni.
Matematikatörténeti besorolásának kérdéseibe – nem lévén a mathészisz történésze – természetesen nem bocsátkozom, ezt szépen elvégezte a kitűnő Sárközy Pál a Nagyszombati régi matematikusok c. tanulmányában, ám ugyanakkor művelődéstörténeti, s kivált a magyar kultúrtörténetben játszott szerepét igen jelentősnek tartom. Makó említett könyve ugyanis nem egyszerűen egyike a korabeli tankönyveknek. Nem abba a sorba próbált illeszkedni, amit az akkori nagyszombati tanáraink Mária Terézia rendelete (1753) alapján egyre-másra megírtak.3 – Makó ugyanis, aki a kortárs oktatásügy vezető alakja volt, és részese a kor legnagyobb oktatási reformjainak, nagyon jól tudta, hogy ennek az anyagnak a tantárgyi besorolása sem a magyar, sem az osztrák felsőoktatásba nem vezethető be. Arra számított vélhetően ugyanakkor, hogy matematikai analízisének a fizikában és a mérnöki tudományokban betöltendő szerepét el tudja majd fogadtatni, netán még szemléltetésükre is képes, és akkor a kialakuló modernizálódó fizika, mechanika és gépészet nem puszta „táblai matézist” fog benne látni, hanem nagyon is használható eszközt.
Ám Makó nemcsak passzívan várta egy kedvezőbb helyzet eljövetelét, hanem maga is energikusan dolgozott ezért, megalapítva a budai Pázmány Péter Tudomány­egye­temen a Geometriai Intézetet, amely mérnököket egyetemi szinten képezett. Az exjezsuita fizikus és teológus Horváth Keresztély János, aki már Nagyszombatban is nagy tisztelője volt Makónak, csatlakozik a Geometriai Intézet tervéhez, majd oktatói köréhez, és mindazt nagy tisztelettel átveszi, amit a makói úttörő munkában megtalált. – Így tudott ez a kötet még Makó életében (cca. 1784-ben) segédkönyvként, majd halála után kötelező egyetemi tankönyvként elterjedni, a Monarchia határain belül és kívül egyaránt (pl. Itália egyetemein).

Az eredetiség és a taníthatóság kérdéséhez

Az analíziskötetben már az első soroktól kezdve, pl. már a bevezetőben (Praefatio) korrekt utalás történik a szerző elődeire, Eulerra, Boscovicra, akik e téren a feldolgozásban előtte jártak és mintegy előzményként mintát is adtak. Ilyen módon Makó ebben a könyvében nem tartott igényt eredetiségre, ám valójában eredeti volt.4
Arra ugyanis igényt tartott, hogy magyarázatait szemléletesen, egymásra épülő sorrendben építse föl: resolutio, demonstratio, corollarium és az illusztratív példák (exempla), majd megfelelő – megoldandó – példatárat is illesszen a teoretikus kifejtésekhez. – Minden újabb rész témáját ábrával is szemlélteti, kiírva a margóra a megkeresendő ábra számát (fig. 1, 2 , 3 stb.), hogy aztán a könyv főszövegéhez csatolt függelékben megjelenítse őket. – A függelék azonban más célt is szolgált: a matematikai tételek fizikai alkalmazását is, ugyancsak szép táblákban berajzolva őket (Tab. I, II stb.).5 Egyik elődjét, Roger Boscovicot abban múlta felül, hogy Makó könyve éppen az elmondottak miatt jól tanítható is volt, és így az egész Monarchiában tankönyvként való használata könnyen megvalósítható lett.

Tudomány- és eszmetörténeti előzmények

Leibniz korszakalkotó analízistanulmánya (1667)6 hamarosan megmozgatta és gondolkodásra serkentette a kontinens legkiválóbb matematikusait, a két Bernoullit, a baseli iskola vezetőit és Eulert,7 a berlini, majd szentpétervári iskola nagyhírű alakját. Eközben az angol királyi akadémia valójában mással sem volt elfoglalva, mint a Newton-féle analízis prioritásának évtizedig tartó bizonyításával, és mit sem törődött a magas, új eszme újragondolásával, rendszerezésével, tankönyvvé formálásával és tudományos (pl. a fizika tudományában való) alkalmazásával. Úgy tűnt, hogy a Monar­chiát sem érintette meg a nagyszerű új gondolat. Egyedül az osztrák és olasz területen egyaránt (latinul) alkotó jezsuita Boscovic8 volt a kivétel. A Monarchia egyetemei eközben vajmi kevés érdeklődést mutattak az új fejezet oktatása iránt: sem Bécs, sem Grác, sem Prága. Ezt követően lépett a színre Makó Pál, a nagyszombati jezsuita egyetem fizika-, matematika- és filozófiaprofesszora.
Ennek azonban megvoltak az előzményei: éppen a felső-magyarországi felvilágosodásban. Mert való és igaz, hogy Magyarország nem tudta kiteljesíteni az európai felvilágosodás mozgalmának széles palettájú elveit, ám a korban elért természettudományos, technikai és matematikai eredmények összességükben tiszteletre méltóak, és ebből nagy része volt a történelmi Felvidéknek. Hogy ezen eredményből ki érte el a legtöbbet, bizonyára vitatható dolog, ámde Kosáry Domokos szavai, miszerint „a legtöbbet a fizika területén a felvidéki értelmiség produkálta”, teljesen megalapozottak.9 Ugyan­akkor szinte csodaszámba megy, hogy Nagyszombatban egyfajta matematikai iskola tudott kialakulni, amely a kitűnő elődök eredményei után mintegy csúcsteljesítményként meghozta az új analíziskönyvet.
A társadalmi körülmények kedvezőtlensége ellenére ugyanis a 18. század második felében, a Monarchiában először, utat tört magának egy – sajnos nem hosszú életű – természettudományos felvilágosodás. Amit a tudományos akadémia híján csak szűk, szinte izolált körök művelhettek, a provincializmus nehéz terhével birkózva, s mindenekelőtt a lemaradottság folytán előállott feladat: az utolérés, a honosítás elsőrendű kötelességének a teljesítése mellett.
Részint a régebbi, részint saját kutatásaim eredményeiből levonható az a következtetés, hogy a reáliák oktatásában Felső-Magyarország megelőzte a régi nagy ország többi régióit, például Erdélyt. Volt persze ennek korábbi hagyománya: Fröhlich Dávid10 késmárki csillagdája, ám a 18. században fontosabb volt az, hogy éppen itt volt az új eszmékre a legnagyobb befogadási készség a kiterjedt peregrináció és a zipser városok relatíve polgárosult háttere folytán.
Másrészt az is kutatási tényként fogadható el, hogy a Németországban és Auszt­riában eleinte, a korai felvilágosodás szakaszában katalizátorként ható wolffiánus eszmék itt hatottak leginkább és a legkorábban, s úgyszintén a későbbi peregrináció (Halle, Jena, Göttingen) következtében a kantiánus filozófiai – s főként etikai – eszmék is.
Harmadszor, eltérően a reáliák iskolai oktatásában elért eredményektől, a Selmecbányai Bányászati Akadémiának egy évtized alatt nemcsak elérni sikerült a nyugat-európai színvonalat (pl. a freibergi akadémiát), hanem nemzetközi rangra is sikerült emelkednie, hiszen ma már tudvalévő, hogy Selmec lett a minta és a példa az európai műszaki felsőiskolák számára.11
Ha az összes közreható tényezőket számításba vesszük, leszűrhető egy fontos magyarázó elv: vajon nem éppen a módszertanban elért megújulás idézte-e elő a viszonylag gyors előrelépést és a 18. század elején még oly visszamaradott helyzet után a fellendülést.

Makó Pál a nagyszombati miliőben

Makó a magyar és az osztrák katolikus felvilágosodás sajátos változatát képviselte. A kor jeles magyar természettudósainak sorába tartozott, akik közül a kémikus Born Ignácot, a fizikus Segner János Andrást ma már Európa-szerte elismeri a tudománytörténet, míg Makó elismertetése még várat magára. Ami pályája indulását illeti, az irodalom nem említi a Gráci Egyetemen (Karl Franzens Universität) eltöltött szemesztereit, amelyek pedig az ott elevenen élő Kepler-hagyomány miatt és legalább ennyire a kitűnő fizikusprofesszorainak (Karl Scherffer, Leopold Biwald) oktatómunkája folytán meghatározóak lettek további pályája szempontjából, jóllehet a régi egyetemi levéltár adatai csak a teológiára való beiratkozását említik.12
A Nagyszombati Egyetemre kerülésének tehát jó előiskolája volt. Fő szakterülete a kísérleti fizika volt, s emellett tanított matematikát, logikát és metafizikát is. Még a jezsuitatörvény sem akasztotta meg karrierjét: mivel Swieten jól ismerte kimagasló tudását, hamarosan meghívták az akkoriban induló és elitképzést végző Theresianum tanárának. Az itt eltöltött több mint egy évtized után visszakerül a Budára áthelyezett Pázmány Péter Egyetemre, amelynek a bölcsészeti karán dékánná választják. Itt először látja meg a lehetőségét annak, hogy a még Nagyszombatban megírt mérnöki kéziratait (amelyeket a Pozsonyi Egyetemi Könyvtár kézirattára őriz) kiadja, miután nagy energiával sikeresen megszervezte ugyanitt az egyetemi mérnökképzést (Geometriai Intézet), amely Európában akkor egyedülálló volt.13 A fő impulzust azonban a nagyszombati egyetem akkoriban gyorsan fejlődő bölcsészeti kara adta meg számára.
1753-ban – mint a szakirodalom újra meg újra leírja – tartalmát tekintve megszűnt Nagyszombatban a hagyományos ünnepélyes doktorrá avatás, jóllehet bizonyos ceremoniális formák megmaradtak. És ami egészen újszerű volt, első ízben lehetett természettudományos témából doktorálni, ami meg is valósult. Ennek oka végső soron abban keresendő, hogy a szerzetesrendek különös módon reagáltak az európai felvilágosodásfilozófiára („recention-philosophia”): pl. a Domonkos-rendiek megmaradnak a Szent Tamás-i elvek mellett. Általában a konzervatív régi rendek ragaszkodnak (forma szerint is) a skolasztikához, az ún. újak viszont, mint a piaristák és a jezsuiták, a század közepétől beengedik köreikbe az új, felvilágosító eszméket is, bár ezt sajátos módon teszik.
A jezsuiták az ún. újskolasztika módszerét követik (Suarez, Fonseca), és közelebb állnak az induktív, analitikus megismerési elvekhez. A rend, racionális beállítottsága folytán, eklektikussá válik filozófiai nézeteiben: sokat „átvesz” az új filozófiákból is (Boscovic, Wolff). Ezek persze csak egyes elvek és egyes tételek, anélkül hogy valamely új rendszerek átvételével maga a skolasztikus rend felbomlott volna. Bernhard Jansen, aki ezt az eklekticizmusba átmenő folyamatot leírta, megkerüli a magyar jezsuiták vonatkozó történetének részletezését, és ez nagy kár, mert hisz országonként más és más volt az új eszmék recipiálása. Az új gondolatokat ugyanis sok német jezsuita átveszi (utalhatunk Steinmeyerre Descartes és Wolff „átvételében”). Ami Boscovicot illeti, ő eklektikus, wolffiánusnak mondható filozófiája mellett a természettudományokat, pl. a fizikát és a matematikát előre is vitte, jóllehet a természettudományi írásaiban él még a természetfilozófia hagyománya.14
Bernhard Jansen könyve (1933) nem mutatja ugyan, de az az igazság, hogy a magyar jezsuiták egy jelentős része elfordult a skolasztikától és csatlakozott a „recention-philosophiá”-hoz, vagyis a kor racionalista vagy empirista irányaihoz.15 Ez a megállapítás a piaristákra még hangsúlyozottabban vonatkozik. Az „új eszmék” úgy vonulnak be a nagyszombati egyetembe, hogy ugyanakkor megtartják még a harmóniát a vallással és a régi vallási világnézettel. Vonatkozik ez Kassára, Kolozsvárra és Budára is, mert hisz itt is ugyanaz jezsuita tanárok által írt tankönyveket használják, tanítják a gimnázium akadémiai osztályaiban. Hasonló a helyzet Grácban is, Bécsben is.
Elmondható, hogy 1750-ig Nagyszombatban a hivatalosan kiadott és ellenőrzött skolasztikus anyagot tanították, és ilyen szellemben tartották a nyilvános egyetemi vitákat is.
Más volt a helyzet a jezsuita tanárok egyéni tudományos tevékenysége terén, még ha az oktatásuk nem is volt több anyagközlésnél. A század közepétől a reformmal az új tankönyvek már egy új szellemet tükröztek, ami csak hosszabb előkészítő tevékenység eredménye lehetett.
Ezekben az új könyvekben már megjelenik az irónia a skolasztikus elvek iránt. Megvan ez a logika tankönyveiben is: pl. Ivancsics professzor látnivalóan csak azért ír valamit a szillogizmusokról, hogy hiányukért meg ne róhassák.16

Makó Pál filozófiai gondolatai

A makói gondolatvilág felvázolásakor a kornak, tehát a 18. század második felének Monarchia-beli eszmetörténeti állapotát kell figyelembe vennünk. Ugyanis a 18. század 60-as éveire az egyetemi akadémiai emberek körében teret nyer Wolff filozófiája. Jóllehet ebben az időszakban a wolffianizmus a német tartományokban már túlhaladottá válik és Kant kezd utat törni magának, a Dunai Monarchiában a wolffi filozófia még a progressziót képviseli. 1760-tól a jezsuita-rend – feloszlatásáig (1773) – a wolffi és a boscovici filozófia összekapcsolásával kísérletezett abból a célból, hogy az osztrák jezsuiták ennek alapján adjanak választ a kor kérdéseire. – Boscovic gondolatvilágát ismerve ez a törekvés aligha lehetett sikeres, mert ő Leibnizet bírálva és nem megértve, megállt Wolff spekulatív gondolatvilágánál. Makó könyveit tekintve úgy vélem, nincs különösebb jelentősége annak, hogy mondhatni baráti kapcsolatban voltak Bos­coviccsal, leveleket váltottak. Wirth Lajos érdekes módon megemlít és idéz egy Bosco­vichoz írott – természetesen latin nyelvű – Makó-levelet – Szörényi László felfedezése nyomán. Ebből azonban nem vonható le széles körű, filozófiai credójára is vonatkozó általánosítás, hiszen a matematikai tárgyú levél az analíziskötet keletkezéséhez, ill. újabb magasabb-matematikai kompendiumához nyújt adalékot:
„Én a múlt évben a növendékek – elsősorban a mi növendékeink – számára kiadtam egy differenciál- és integrálszámítási tankönyvet, amelyet több helyen alkalmaztam a fizikára és a mechanikára; most egy másik köteten dolgozom, amely a magasabb egyenletek aritmetikai és mértani megoldásáról szól, s amelynél Tisztelendőséged műve az algebráról és a mértani helyek átalakításairól nem kis segítségemre szolgál.”
Makó ugyanis nemcsak matematikájában, fizikájában, hanem filozófiai írásaiban is megőriz egyfajta szuverén gondolkodást. Semmit sem vesz át átgondolatlanul sem Leibniztől, sem Christian Wolfftól.17
A jezsuita rend feloszlatásával megváltozott a helyzet: ugyanis a filozófiaoktatás tereziánus reformjával (1752) a szinte kizárólag a Wolffot vulgarizáló Baumeister által átvett filozófiatanítás – és persze az ő tankönyve18 – lépett a régi szakasz helyére, ami még az etikaoktatást is áthatotta, és ami jellemezően kiszorította az Arisztotelészre, ill. a tomizmusra mint feltétlen tekintélyre való hivatkozást (ld. a gráci reform és az augusztiánusok térnyerése).
Ilyen viszonyok között, amikor a vulgárfilozófia lett az uralkodó Magyarországon, a wolffi filozófiát magáévá tévő Makó egy eklektikus gondolatvilágba került. Ami viszont Makó javára írandó: azon kevesek közé tartozott a korabeli Magyarországon, akik Leibnizet olvasták, elemezték és kritikai megjegyzésekkel illették. Ezt találjuk egyes kompendiumaiban, pl. a „Metaphysic”-ban.19
A Metaphysic ontológiával foglalkozó fejezetében egyebek közt Leibniznek a világ egyetemes tökéletességére vonatkozó tételével foglalkozik hosszasan, és logikai érveket hoz fel a cáfolatára. Makó itt azt kifogásolja Leibnizben, hogy az megkísérli a valóságos világot, valamint a megkülönböztethetetlenségi elvet bizonyítani, de ezt mértéken túl használva (ultra aequos limites pertinere vult) megsérti (Makó: Ontologia, 14. p.) Makó itt pontosan idézi Leibniz Principia Philosophiae c. művét, az eredeti latin szövegből: „Ex infinitis mundis possibilibus…”, ami magyarul így szól: „A lehetséges végtelen számú világok közül, amelyek Isten gondolataiban (in ideis Dei) vannak, csak egy létezhet, ezért szükséges, hogy Isten választásának elégséges (ésszerű) oka legyen (necesse dari rationem ufficientem electionis divinae), amelyik őt inkább az egyik megoldásra sarkallja, mintsem a másikra: ez az ok pedig nem származhat másból, mint hogy a tökéletességnek milyen fokát tartalmazzák a világok.” (Ontologia, 13. p.) Leibniz szerint ez azért lehetséges, mert „mindegyik (világ) rendelkezik a létezésre kiterjedő joggal, a tökéletesség ama mértéke szerint, amelyet magában rejt.” (Leibniz: Principia Phil., § 55 skk)
Makó felteszi a kérdést: mi adódik abból, ha Leibniz szentenciáját elfogadjuk? Leibniz ugyanis – mondja Makó – egy dilemma előtt áll: Isten ezt a világot tökéletességének alapjából vagy szükségszerűen, vagy nem szükségszerűen teremtette. Az első esetben a világ absolute létezik, vagyis logikailag szükségszerűen, a második esetben viszont Isten egy kicsit tökéletesebbet is teremthetett volna, amit pedig a leibnizi argumentum értelme éppenséggel kizárt. Leibniz eszerint – mint Werner Sauer interpretációja is megítéli – bizonyítási hibát követ el: vagy túl sokat bizonyít, vagy semmit sem bizonyít.
Filozófiai írásait tekintve elmondható, hogy Makó módszere eklektikus volt: tartalmaz Locke-féle empirikus elemeket is és Wolff-féle korlátozott racionalista metódusokat is. Leibnizben azonban éppen Wolff és – a gráci matematikus – Scherffer szemüvegén nézve nem annyira az igazi filozófiai értékeket, hanem inkább az ellentmondásokat mutatja fel. Leibnizben inkább csak az ellentmondásokat látva, nem vette észre vagy nem méltányolta az ezek egyeztetésére tett kísérleteket.
Boscovic még megkísérelte a newtoni erőtannak a leibnizi monász-tannal való összeegyeztetését – mint már említettük –, ám ezt Makónál nem találjuk.
Úgyszintén nincs nyoma annak sem – talán Wolff interpretációit elfogadva –, hogy Makó észlelte volna: Leibniz maga több ponton megkísérelte ellentmondásainak feloldását. Ezek közé tartozott például a progresszív természettudomány és az istenhit egyeztetése.
Makó a klasszikus (pl. az arisztotelészi, cicerói) hagyományt úgy próbálta a maga írásaiban megőrizni, hogy logikai kompendiumokban idézte. Egyébként fizikájában a Newtonból kiinduló Boscovic–Radics-féle természetfilozófiát kiindulópontnak vette, és ezen a nyomon építette fel fizika könyveit.
Külön elbírálás vonatkozik a kéziratokban található logikai és a matematikai gondolataira. Ugyanis – következetes gondolkodó lévén – nem tudván gondolatilag elszakadni a Newton–Leibniz-féle analízis új logikájától, a hagyományos logikát – mintegy kötelességszerűen – leírja kompendiumaiban, ám kézirataiban újra meg újra felveti egy új logika szükségességét. Ez a terve bizonyíthatóan megvolt, hiszen még egy kompendiumában is elárulta jövőbeni szándékát, a megvalósításához azonban – akárcsak a nagy Bolyai János – ő sem tudott eljutni.

A felsőbb matematika mint az új logika hallgatólagos alkalmazása Makónál

Makó Pál a 60-as években megjelent Differenciál- és integrálszámítás című latin nyelvű könyvében lényegében a leibnizi és newtoni fogalmakkal operált, bár nem e nagy szerzők műveiből való közvetlen átvétellel. Ezt ugyanis előtte a Bernoulli fivérek, majd ezt követően Euler már megtették. Makó természetes következetességgel használja a „tart a 0-hoz”, illetve a „tart a végtelenhez” fogalmakat (természetesen új jelölésükkel), ami ellenkezett a hagyományos logikai contradictio fogalmával, mely szerint egy értéknek vagy végtelennek, vagy nem végtelennek, illetve nullának vagy nem 0-nak kell lennie.
A kor vezető aufklärer tudósainál általános vonás volt a lehető legnagyobb fogalmi tisztaságra és élességre való törekvés, és a matematikai analízis felfedezését is ennek köszönhette a világ. Ernst Cassirer is hangsúlyozta Leibniz jellemzésénél, hogy gondolkodási módszere egyfajta szabad fogalomalkotás volt (Cassirer: Leibniz’ System…, 1902, 105. p.).
Leibniz a logika egészére alkalmazta matematikáját, és ezt bizonnyal azért tette, mert ebben a matematikust kevésbé köti a tradíció, mint a filozófust. Ennek folytán alkotóbb is lehetett, és kipróbálhatott minden elgondolható kombinációt, aminek folytán kibővült előtte a lehetőségek köre. – Ami Makó Pált illeti, nála nem a tehetség hiánya, hanem bizonnyal világnézeti kötöttségei és a tradíció ereje nem engedték meg, hogy Leibniz és Bernoulli útjára lépve komoly, a kézirati vázlatokon túlmenő lépéseket tegyen egy új matematikai logika felé.
Miközben a kortárs konzervatív matematika cáfolni igyekszik az új végtelenfogalmakat, Makó – úgy tűnik – tudatosan mellőzni kezdi a régi logika tanfogalmait. Feltevésem szerint eljutott ahhoz a gondolathoz – ami egyébként nem új ebben a korban, csak a matematikusok körében ritka –, hogy meg kellene írnia egy új, analízisével összhangban lévő logikát. Kinyomtatott könyveiben azonban, s tudjuk, nem egy logikakönyvet írt, nem látszik ez a törekvése. Mindössze felveti egy, a hagyományos formállogikától eltérő és Newtonra épülő logikának a fontosságát, ámde soha nem adja ki.
Valójában Makó inkább csak a maga belső gondolatvilágában követte kitűnő nagyszombati elődeit: Rozgonyit, Jaszlinszkyt, Ivancsicsot, akik logikájukban tartalmilag is elszakadtak a skolasztikától, s már az arisztotelészi szillogizmusról is csak gúnyolódva írtak, ámde Makó a maga kompendiumaival sokkal óvatosabban fogalmaz, nem megy bele frontális támadásba, s még az irónia hangját is ritkán üti meg. Makót feltehetőleg nemcsak az eléggé szigorú jezsuita előírások kötötték, de kötötte a Mária Terézia-féle erősen katolikus és világnézeti kérdésekben kevéssé toleráns udvar is, hiszen ő mint Mária Terézia egy kedvenc „kultúrpolitikusa” (pl. az Ürményi-féle a Ratio Educationis egyik vezéralakja) teljes lojalitást kívánt mutatni. Részt vett ugyan az udvar oktatási reformjának, a Ratio Educationisnak a kidolgozásában, ám ennek határait nem kívánta túllépni.20
Logikakönyvei szerkezetüket, definícióikat tekintve hagyományos kompendiumok. Az itt is érvényesülő, ám némi didaktikai egyszerűsítéssel használt választékos latinságát megcsodálták a kortársak (lírai költeményeit pl. Svájcban mint Vergilius-verseket tanították egy időben az iskolában!), ámde példaként és mintaként a régi görög és latin auktorokat emlegeti, Descartest, Hume-ot és Leibnizet nem. És bár filozófiai nézeteit tekintve Makó eklektikus wolffiánus volt, a matematikában Boscovic- és Newton-követő lett. Mivel azonban akkoriban Newton alapján nem lehetett az analízist kifejteni, Differenciál- és integrálszámítási könyvét a Bernoulli fivérek tanulmányai és Euler ilyen témájú könyve alapján írta meg. A gondolatmenetek és a citátumok is emellett szólnak. Ebben a könyvében sehol sem bocsátkozik logikai fejtegetésekbe, a legkisebb és a legnagyobb szám, a végtelen fogalmát mint bevett fogalmat használja, s nem bonyolódik bele a contradictio-elv figyelmen kívül hagyásába, amit pedig – ha a kortársak leírásainak hinni lehet – viták során hevesen fejtegetett. A gyakorlatban, ahogy a könyvben hozott példák és ábrák mutatják, minden határérték-számítása a nullához tartó, ill. a végtelenhez tartó értékekre épül rá.
Mindezek ellenére feltűnni látszik bizonyos összefüggés Makó matematikai és logikai eljárásai között. Az analíziskönyvében pl. megoldási módként a sorbafejtést írja le mint a differenciálszámítás ajánlott megoldását, addig kéziratos logikai okfejtésében az arisztotelészi végtelenség fogalmából kiindulva a vizsgált jelenség részekre bontását tételezi, továbblépve a nagy antik szerzőn. A „részekre bontás” a következő kor filozófusainál kerül előtérbe, kerül a figyelem középpontjába (Bolzano, Boole, von de Morgan).
Az említett kéziratos logika-, filozófiakötetében bevezet egy új, nála máshol nem található fogalmat, az „infinitum categore matematicum”-ot.21 Itt – az eddigiektől eltérően leibnizi gondolatokból kiindulva mintegy azt sugallja, hogy a logika és a matematika összevonásával kellene megszerkeszteni a filozófia fogalmait. Gondolhatunk itt a leibnizi „Characteristica universalis”-ára mint egyetemes szimbolikára, mint soha fel nem épített, de kigondolt tervre, amely szavatolja majd egy egyetemes filozófiai nyelv megkonstruálását, mintegy megvalósítva a nagy leibnizi álmot, s vele együtt majd a „sciencia universalis”-t.

Makó Pál életének és tevékenységének adatai

1723. Kerekgedei Makó Pál születése Jászapátiban (Magyarország).
1740. A hatosztályos középiskolát a jezsuiták egri intézetében végzi.
1741. Belép a jezsuita rendbe.
1742–43. Két év próbaidőt tölt a trencséni rendházban.
1743–44. A humaniórák repetense Győrött.
1744–47. Hároméves bölcsészkurzust végez a Nagyszombati Egyetemen.
1747–48. Ungváron a grammatikai és a szintaxisosztály tanára. Itt írja meg az Ad natalem suum (Születésnapomra) c. elégiáját.
1748–49. Nagyszombatban a gimnázium negyedik osztályának tanára.
1749–1751. A Bécsi Egyetemen a matematika repetense. Itt írja meg az Elegiacon c. verskötetét.
1751–52. Gimnáziumi tanár Nagyszombatban.
1752–56. Grácban tanul az egyetem teológiai fakultásán.
1755. Pappá szentelik.
1756–57. A besztercebányai jezsuita kolostorban tölti a harmadik próbaévet.
1758. A Nagyszombati Egyetem tanára lesz, megkezdi a jezsuita egyetem szokásos tanári kurzusát (az első évben matematikát, majd logikát és metafizikát, a harmadikban fizikát, a negyedikben profán és egyháztörténetet tanít).
1760. Rendi elöljárói a Bécsi Egyetemre rendelik, ahol két évig tanít.
1760. Kiadja logikatankönyvét, mely olaszul is megjelent, és amely nyolc kiadást ért meg.
1761. Kiadja a Metaphysicát, amely tizenegy kiadásban jelenik meg (1833-ig).
1762. Makó a bécsi Theresianum tanára lesz, ahol fizikát, mechanikát, matematikát tanít.
1762–63. Megjelenik fizikakönyve, két részben. 1786-ban Velencében is kiadják.
1764. Megjelenik matematika-tankönyve, amelyet többször kiadtak Velencében is.
1767. Megjelennek geofizikai, fénytani, meteorológiai értekezései.
1768. Megjelenik Bécsben a magasabb matematikába bevezető tankönyve, a Calculi Differentialis et Integralis Institutio, melyet Svájcban és Itáliában többször kiadtak.
1770. Megjelenik a felsőbb algebrából írt tankönyve (De atitmeticiset geometricis…)
1772. Megjelenik Bécsben német nyelven a Mennykő mivoltáról c. könyve, melyet Révai Miklós magyarra fordít (Kassa, 1781).
1773. Kiadja a Materia tentaminis c. mechanikai könyvét (Tételek a testek egyensúlyáról, a géptannak és a vízépítésnek területéről).
1775–1777. Ürményi József mellett részt vesz a Ratio Educationis oktatási reform munkálataiban és szövegeinek latinra fordításában.
1777. Befejezi a Theresianumban tanári munkásságát.
1791. A budai, majd pesti Egyetem Bölcsészettudományi Karának igazgatója.
1793. Részt vesz a kilenc rendi bizottság egyikében, a Tanulmányi bizottságban, amely reformterveket dolgozott ki a következő országgyűlés számára.
1793. Makó Pál váratlan halála.

A feldolgozott irodalom jegyzéke

Paulus Mako: Compendiaria Metaphysicae. Vindobonae, Trattner, 1773.
Paulus Mako: Calculi Differentialis et Integralis Institutio. Vindobonae, 1768.
Paulus Mako: Compendiaria Logicae Institutio. Vindobonae, Trattner, 1769.
Paulus Mako: Dissertatio de Infinito. Kézirat, é.n.
Makó Pál: Egy magyar szótárnak készítésére intéző vélemények. 1792.
Paulus Makó: Hydrotechnika et Hydrodynamica. Kézirat, Országos Levéltár, A Helytartótanácsi Levéltár ’C’ szekció 141. Budapest, 1782–83.
Bernhard Jansen: Deutsche Jesuiten-Philosophen des XVIII. Jhs. in ihrer Stellung zur neuzeitlichen Naturauffassung. Zeitschrift für Katholische Theologie, 1933.
Bernhard Jansen: Schulen und Richtungen in der Scholastik des 17. Jhs. Philosophisches Jahrbuch der Görresgesellschaft, 1936.
Bernhard Jansen: Die Pflege der Pilosophie im Jesuitenorden während des 17/18. Jhs. Philosophisches Jahrbuch der Görresgesellschaft, 1938.
András Jaszlinszky: Metaphysica. Tyrnavae, 1765.
András Jaszlinszky: Institutiones Logicae. Tyrnavae, 1754.
Johann Ivancsics: Institutiones Logicae. 1757.
Anton Kreil: Einige Züge aus dem Leben und dem Charakter der nunmehr verewigten Paulus Makó. Pest, 1793.
Roger Boscovic: Theoria philosophiae naturalis. Wien, 1758, 2., 8. §.
Jakab Bernoulli: Opera J. Bernoulli. Genf, 1744.
Sárközy Pál: Nagyszombati régi matematikusok. Pannonhalma, 1933.
Szénássy Barna: A magy